Problema 12: Oposicions de
secundària 2.
En
un triangle rectangle ,
, siga
l’altura, siga
la bisectriu i E la
intersecció de
,
. Proveu que:
a)
El triangle és isòsceles.
b)
.
Oposicions
València 2005
Solució:
a)
,
.
(angles oposats pel
vèrtex).
.
.
Aleshores,
, per tant,
és isòsceles,
.
b)
Aplicant
raons trigonomètriques al triangle rectangle :
.
Aplicant
la propietat de la bisectriu al triangle :
, aleshores,
.
Aplicant
el teorema del cosinus al triangle :
.
.
.
.
Vegem
que . Siga la funció,
tal que
,
.
Vegem
que la funció és creixent en aquest
interval.
,
quan
.
El
màxim s’assoleix quan .
.
Aleshores,
. Per tant,
.
Amb
Cabri:
Figura prob12.fig
Applet created on 9/12/07 by Ricard Peiró User with CabriJava