Problema 6: Exercicis
d’optimització.
a)
De tots els rectangles de perímetre P determineu el que tinga
mínima diagonal.
b) Determineu
el rectangle d’àrea màxima inscrit en un triangle isòsceles de base a i de costats iguals b (la
base del rectangle es troba en el costat desigual del triangle isòsceles).
Solució:
a)
Siga KLMN un cuadrat de perímetre P
Siguen 
, 
els costats del
rectangle.
, aleshores, 
(1)
Aplicant
el teorema de Pitàgores al triangle rectangle 
, la diagonal del rectangle és:
Substituint
l’expressió (1):
.
Siga 
, 
.
La
funció g(a) és contínua i creixent
El mínim
de la funció D(a) s’assoleix en el mínim de la funció f(a).
La
funció f(a) és una paràbola còncava, el seu mínim s’assoleix en el vèrtex, és a
dir, quan 
, aleshores, 
.
En
aquest cas KLMN és un quadrat.
Amb
Cabri:
Figura prob6a.fig
Applet created on 9/12/07 by Ricard Peiró with CabriJava
b)
Siga el triangle isòsceles 
, 
, 
.
Considerem
el rectangle PQRS.
Siga 
, 
.
.
L’àrea
del rectangle PQRS és:
.
Els
triangles 
, 
són semblants.
Aplicant el teorema de Tales:
.
Aïllant
la incògnita y:
.Substituint en la funció àrea:
.
Aquesta
funció és una paràbola convexa, el màxim s’assoleix en el vèrtex de la
paràbola, és a dir, quan 
.
Les
mesures del rectangle són, 
, 
, és a dir, el costat és la meitat de la base i l’altura la
meitat de l’altura del triangle isòsceles.
Amb
Cabri:
Figura prob6b.fig
Applet created on 9/12/07 by Ricard Peiró with CabriJava