Problema 10: nombre d’or 2.
Siga el triangle equilàter .
Siguen L, M els punts migs dels segments AB, AC,
respectivament.
Siga C1 la circumferència circumscrita al triangle .
La
recta que passa pels punts L, M talla la circumferència C1 en els punts X, Y.
Proveu
que
Solució
1: (Amb coordenades cartesianes).
Considerem
El triangle , tal que B(0,0), C(2,0).
Per
ser el triangle equilàter
Les
coordenades dels punts L, M són:
Siga C1 la circumferència circumscrita al triangle de centre O i radi R
El
centre O té coordenades
El radi
de la circumferència circumscrita C1 és:
L’equació
de la circumferència C1 és:
L’equació
de la recta r que passa pels punts L, M és:
Les
interseccions de la circumferència C1 i la recta r són:
,
. . .
Aleshores: .
Demostració
2 trigonomètrica:
Considerem
el triangle de costat
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle .
Aleshores
.
Considerem
el triangle
Per
la propietat del baricentre del triangle :
. .
L’angle
.
Considerem
el triangle
Aplicant
el teorema del cosinus al triangle .
.
. Simplificant:
. Aleshores,
Amb Cabri:
Figura prob10.fig
Applet created on 9/12/07 by Ricard Peiró with CabriJava