Problema 12: Oposicions de
secundària 2.
En
un triangle rectangle , , siga l’altura, siga la bisectriu i E la
intersecció de , . Proveu que:
a)
El triangle és isòsceles.
b)
.
Oposicions
València 2005
Solució:
a)
, .
(angles oposats pel
vèrtex).
. .
Aleshores,
, per tant, és isòsceles, .
b)
Aplicant
raons trigonomètriques al triangle rectangle :
.
Aplicant
la propietat de la bisectriu al triangle :
, aleshores, .
Aplicant
el teorema del cosinus al triangle :
.
. .
.
Vegem
que . Siga la funció, tal que , .
Vegem
que la funció és creixent en aquest
interval.
, quan .
El
màxim s’assoleix quan .
.
Aleshores,
. Per tant, .
Amb
Cabri:
Figura prob12.fig
Applet created on 9/12/07 by Ricard Peiró User with CabriJava