Problema 1. Un quadrat i dos
triangles equilàters
ABDE és un
quadrat; DEF i BCD són dos triangles equilàters.
Demostreu
que els punts A, F et C són alineats.
Solució 1:
A,
F, C són alineats si l’angle 
és pla.
El
triangle 
és isòsceles.
, per tant, 
.
El
triangle 
és isòsceles.
, per tant, 
L’angle
Per
tant, 
Solució 2:
Considerem
el sistema de referència cartesià: 
Els
punts A, F, C són alineats si els vectors 
són proporcionals.
Les
coordenades dels punts E, D, B, A són 
Utilitzant
el teorema de Pitàgores les coordenades del punt F
són 
Utilitzant
el teorema de Pitàgores les coordenades del punt C
són 
Calculem
les coordenades dels vectors
Dividim
les coordenades dels dos vectors:
Per
tant els dos vectors són proporcionals.
Solució 3:
Considerem
el sistema de referència cartesià:
Determinem
la recta r que passa pels punts A, C. Els punts A, F, C estan alineats si el
punt F pertany a la recta r.
Les
coordenades dels punts E, D, B, A són
Utilitzant
el teorema de Pitàgores les coordenades del punt F
són
Utilitzant
el teorema de Pitàgores les coordenades del punt C
són
La
recta que passa pels punts 
té per equació:
Vegem
si el punt pertany a la recta:
Per
tant F pertany a la recta r i els 3 punts són alineats.
Solució 4:
Els
punts A, F, C són alineats si les imatges per una rotació de centre D i angle
60º són alineats.
La imatge
de C és B.
La
imatge de F és E
La
imatge de A és un punt equidistant de A i de D per tant està en la recta mediatriu de la recta AD que és la recta BE.
Per
tant els tres punts A, F, C estan alineats.
Amb
Cabri:
Figura prob1.fig
Applet created on 9/12/07 by Ricard Peiró with CabriJava