Problema 51
Des del punt mig D de la base
del triangle isòsceles
s’ha traçat una
perpendicular al costat
que talla el costat en
el punt M. Siga N el punt mig del segment
. Demostreu que els segments
,
són perpendiculars.

Solució 1:
Considerem el triangle
amb les següents
coordenades cartesianes:
. Aleshores,
.
La recta r que passa pels punts B, C té equació:
.
La recta s que passa pel punt D i és perpendicular al
costat
té per equació:
. El punt M és la intersecció de les rectes r, s:
Aleshores,
.
N és el punt mig del segment
. Aleshores,
.
Calculem les components dels vectors
.
![]()
Calculem el producte escalar dels vectors
:
![]()
Aleshores,
són perpendiculars.
Solució 2:
Siga
.
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle
,
.
Els triangles
són semblants,
aplicant el teorema de Tales:
. Per tant,
,
.
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle
:
, ![]()
,
. Efectuem el producte escalar i comprovem que és zero.
![]()
Aleshores,
són perpendiculars.
Amb Cabri:
Figura problema051.fig
Applet created on 6/11/06 by Ricard Peiró I Estruch with CabriJava