Problema 78

Demostreu que la circumferència circumscrita a un triangle té el mateix radi que la circumferència que passa per dos dels seus vèrtexs i per l’ortocentre.

Solució:

Siga H l’ortocentre del triangle .

Siguen altures del triangle.

Considerem el triangle .

Notem que , .

Aleshores, .

Siga R el radi de la circumferència circumscrita al triangle.

Siga S el radi de la circumferència circumscrita al triangle .

Aplicant el teorema dels sinus al triangle , (1)

Aplicant el teorema dels sinus al triangle :

(2)

Igualant les expressions (1), (2):

, és a dir, la circumferència circumscrita a un triangle té el mateix radi que la circumferència que passa per dos dels seus vèrtexs i per l’ortocentre.

Amb Cabri:

Figura problema078.fig

Applet created on 9/11/06 by Ricard Peiró with CabriJava

Pàgina anterior: