Problema 80
Demostreu que si en un triangle un angle és de 120º els peus
de les bisectrius del triangle formen un triangle rectangle.
Solució:
Siga el
triangle
,
.
Siguen
bisectrius del
triangle
.
Siguen
.
Aplicant la propietat de la bisectriu al triangle
:
(1)
Aplicant el teorema dels sinus al triangle
:
(2)
Aplicant el teorema dels sinus al triangle
:
(3)
Dividint les expressions (2), (3):
(4)
Substituint l’expressió (1) en l’expressió (4):
.
Simplificant,
.
Aleshores,
, per tant,
.
Anàlogament,
.
.
Aleshores el triangle
és rectangle.
Amb Cabri:
Figura problema080.fig
Applet created on 9/11/06 by Ricard Peiró with CabriJava