Problema 7: Quadriląter inscriptible
En una circumferčncia C donada, hi inscrivim un
quadriląter, les diagonals del qual són perpendiculars.
Proveu que, siga quin siga el quadriląter inscrit de
diagonals perpendiculars, la suma dels quadrats de dos
costats oposats és constant i igual al quadrat del
diąmetre de la circumferčncia.
Solució
de Ricard Peiró.
Siga la circumferčncia c de radi R.
Siga el quadriląter ABCD inscrit en la circumferčncia tal
que i són
perpendiculars les quals es tallen en el punt O.
Aplicant el teorema de Pitągores als triangles rectangles
, :
.
.
Sumant les dues expressions:
(1)
Aplicant el teorema de Pitągores als triangles rectangles
, :
.
.
Sumant les dues expressions:
(2)
Aleshores:
.
Vegem quan val la constant.
Siga , .
Aplicant el teorema dels sinus al triangle :
. Aleshores,
Aplicant el teorema dels sinus al triangle :
. Aleshores,
.
Aleshores, .
Amb Cabri
Figura prob7.fig
Applet created on 31/12/08 by Ricard Peiró with
CabriJava