Problema 7: Quadrilàter inscriptible

En una circumferència C donada, hi inscrivim un quadrilàter, les diagonals del qual són perpendiculars.

Proveu que, siga quin siga el quadrilàter inscrit de diagonals perpendiculars, la suma dels quadrats de dos

costats oposats és constant i igual al quadrat del diàmetre de la circumferència.

Solució de Ricard Peiró.

Siga la circumferència c de radi R.

Siga el quadrilàter ABCD inscrit en la circumferència tal que i són

perpendiculars les quals es tallen en el punt O.

Aplicant el teorema de Pitàgores als triangles rectangles , :

.

.

Sumant les dues expressions:

(1)

Aplicant el teorema de Pitàgores als triangles rectangles , :

.

.

Sumant les dues expressions:

(2)

Aleshores:

.

Vegem quan val la constant.

Siga , .

Aplicant el teorema dels sinus al triangle :

. Aleshores,

Aplicant el teorema dels sinus al triangle :

. Aleshores,

.

Aleshores, .

Amb Cabri

Figura prob7.fig

Applet created on 31/12/08 by Ricard Peiró with CabriJava

Pàgina anterior