Problemes de Geometria
Girona 2009
|
Problema 1. Un quadrat i dos
triangles equilàters ABDE és un
quadrat; DEF i BCD són dos triangles equilàters. Demostreu
que els punts A, F et C són alineats.
|
|
Problema 2: Un quadrat, un
triangle equilàter i un cercle Un
triangle equilàter està dibuixat al defora del costat superior del quadrat
ABCD de costat 1 com mostra la figura. Si
una circumferència passa pels punts A, B i E. Quin és el radi del cercle.
|
|
Problema 3: Resolució de triangles a)
Resoleu el triangle coneguts b)
Resoleu el triangle coneguts |
|
Problema 4: propietat de
l’ortocentre Siga
el triangle acutangle Demostreu
que
|
|
Problema 5: Relació entre les
altures i radi de la circumferència inscrita d’un triangle Considerem
el triangle Siguen
|
|
Problema 6: Heptàgon regular Siga
ABCDEFG un heptàgon regular. Proveu que
|
|
Problema
7: Quadrilàter inscriptible En
una circumferència C donada, hi inscrivim un quadrilàter, les diagonals del
qual són perpendiculars. Proveu que, siga quin siga el quadrilàter inscrit de
diagonals perpendiculars, la suma dels quadrats de dos costats oposats és
constant i igual al quadrat del diàmetre de la circumferència. |
|
Problema
8: Problema Sangaku En
la següent figura el costat del pentàgon regular mesura 1cm. Calculeu la
proporció entre els radis dels dos tipus de circumferències. Proveu que és
|
|
Problema
9: Quadrat i pentàgon Determineu
l’àrea del pentàgon MCNQP de la figura 4 , limitat per les rectes BC, CD, AN,
AM, BD, tal que ABCD són els vèrtexs d’un quadrat, N és el punt mig de
|
|
Problema 10: nombre d’or Siga
el triangle equilàter Siguen
L, M els punts migs dels segments AB, AC, respectivament. Siga
C1 la circumferència circumscrita al triangle La
recta que passa pels punts L, M talla la circumferència C1 en els punts X, Y.
Proveu que
|
.
.
. Siguen 
, 
, 
.
.
. 
.