Problemes de Geometria
Girona 2009
Problema 1. Un quadrat i dos
triangles equilàters ABDE és un
quadrat; DEF i BCD són dos triangles equilàters. Demostreu
que els punts A, F et C són alineats. |
Problema 2: Un quadrat, un
triangle equilàter i un cercle Un
triangle equilàter està dibuixat al defora del costat superior del quadrat
ABCD de costat 1 com mostra la figura. Si
una circumferència passa pels punts A, B i E. Quin és el radi del cercle.
|
Problema 3: Resolució de triangles a)
Resoleu el triangle coneguts . b)
Resoleu el triangle coneguts . |
Problema 4: propietat de
l’ortocentre Siga
el triangle acutangle . Siguen , , les altures del
triangle. Siga H l’ortocentre. Demostreu
que . |
Problema 5: Relació entre les
altures i radi de la circumferència inscrita d’un triangle Considerem
el triangle , siga r el radi de la circumferència inscrita. Siguen
les 3 altures del
triangle. Aleshores: . |
Problema 6: Heptàgon regular Siga
ABCDEFG un heptàgon regular. Proveu que |
Problema
7: Quadrilàter inscriptible En
una circumferència C donada, hi inscrivim un quadrilàter, les diagonals del
qual són perpendiculars. Proveu que, siga quin siga el quadrilàter inscrit de
diagonals perpendiculars, la suma dels quadrats de dos costats oposats és
constant i igual al quadrat del diàmetre de la circumferència. |
Problema
8: Problema Sangaku En
la següent figura el costat del pentàgon regular mesura 1cm. Calculeu la
proporció entre els radis dels dos tipus de circumferències. Proveu que és . |
Problema
9: Quadrat i pentàgon Determineu
l’àrea del pentàgon MCNQP de la figura 4 , limitat per les rectes BC, CD, AN,
AM, BD, tal que ABCD són els vèrtexs d’un quadrat, N és el punt mig de i M divideix el
segment en raó 2:1
(calculant a partir del vèrtex C), si el costat del quadrat ABCD és a. Noteu
que . |
Problema 10: nombre d’or Siga
el triangle equilàter . Siguen
L, M els punts migs dels segments AB, AC, respectivament. Siga
C1 la circumferència circumscrita al triangle . La
recta que passa pels punts L, M talla la circumferència C1 en els punts X, Y.
Proveu que .
|