Problema 22
Siga el
triangle equilàter .
Siguen L, M
els punts migs dels segments AB, AC, respectivament.
Siga C1 la
circumferència circumscrita al triangle .
La recta que passa pels punts L,
M talla la circumferència C1 en els punts X, Y.
Proveu que
Solució 1: (Amb coordenades
cartesianes).
Considerem El triangle , tal que B(0,0), C(2,0).
Per ser el triangle equilàter
Les coordenades dels punts L, M
són:
Siga C1 la
circumferència circumscrita al triangle de centre O i radi R.
El centre O té coordenades
El radi de la circumferència
circumscrita C1 és:
L’equació de la circumferència
C1 és:
L’equació de la recta r que
passa pels punts L, M és:
Les interseccions de la
circumferència C1 i la recta r són: ,
Aleshores:
Solució 2 trigonomètrica:
Considerem el triangle de costat .
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle ,
Aleshores
Considerem el triangle
Per la propietat del baricentre
del triangle
L’angle
Considerem el triangle .
Aplicant el teorema del cosinus
al triangle ,
Simplificant:
Aleshores,
Amb Cabri:
Figura problema022.fig
Applet created on 19/04/06 by Ricard Peiró with CabriJava