Problema 39

Demostreu que si a, b són els costats d’un triangle  i l la bisectriu de l’angle que formen els dos costats i a’, b’ els segments amb què la bisectriu divideix el costat c, aleshores, .

 

Solució:

Considerem la circumferència circumscrita al triangle .

Siga D la intersecció de la bisectriu al vèrtex C i el costat oposat.

Siga E la intersecció de la bisectriu i la circumferència circumscrita al triangle.

Els triangle ,  són semblants (tenen els angles iguals).

Aplicant el teorema de Tales:

, per tant,  ,            (1)

 

Aplicant la potència del punt D respecte de la circumferència circumscrita al triangle:

, és a dir,                                     (2)

 

Substituint (2) en (1):  .

 

Amb Cabri:


Figura
problema039.fig

Applet created on 22/04/06 by Ricard Peiró with CabriJava

 

Pàgina anterior: