Problema 48
Demostreu que en un triangle rectangle 
on r és el radi de la
circumferència inscrita i R el radi de la circumferència circumscrita.
Solució:
Considerem el triangle rectangle 
.
Per ser
el triangle rectangle el circumcentre és el punt mig
de la hipotenusa.
Aleshores, 
(1).
Siguen M, N, P els
punts de tangència de la circumferència inscrita i el triangle.
Aleshores, 
on p és el semiperímetre.
.
Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle .
.
Per tant, 
(2)
Dividint (2) entre (1):
.
Considerem la funció 
on 
.
Calculem el màxim de la funció:
, aleshores, 
.
.
.
Aleshores, és un màxim de la
funció f(B).
Per tant 
Nota: Aquesta fita del quocient dels radis és millor que
la que dóna el teorema dEuler dels radis de les
circumferències inscrita i circumscrita que era 
per a qualsevol
triangle.
Amb Cabri:
Figura problema048.fig
Applet created on 22/04/06 by Ricard Peiró with CabriJava