Problema 51
Des del punt mig D de la base 
del triangle isòsceles
s’ha traçat una
perpendicular al costat 
que talla el costat en
el punt M. Siga N el punt mig del segment 
. Demostreu que els segments 
, 
són perpendiculars.
Solució 1:
Considerem el triangle amb les següents
coordenades cartesianes: 
. Aleshores, 
.
La recta r que passa pels punts B, C té equació: 
.
La recta s que passa pel punt D i és perpendicular al
costat té per equació: 
. El punt M és la intersecció de les rectes r, s:
Aleshores, 
.
N és el punt mig del segment . Aleshores, 
.
Calculem les components dels vectors 
.
Calculem el producte escalar dels vectors 
:
Aleshores, són perpendiculars.
Solució 2:
Siga 
.
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle 
, 
.
Els triangles 
són semblants,
aplicant el teorema de Tales:
. Per tant, 
, 
.
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle 
:
, 
,
. Efectuem el producte escalar i comprovem que és zero.
Aleshores, són perpendiculars.
Amb Cabri:
Figura problema051.fig
Applet created on 6/11/06 by Ricard Peiró I Estruch with CabriJava