Problema 57
En un triangle equilàter de costat a dibuixem
les circumferències que tenen els seus centres en els vèrtexs i són tangents
als costats oposats.
Els 3 punts d’intersecció d’aquestes circumferències
interiors al triangle formen un triangle equilàter.
Determineu el costat d’aquest triangle.
Solució:
Considerem el triangle equilàter de costat a amb les
següents coordenades cartesianes:
.
El baricentre del triangle és: .
Considerem el triangle determinat pels 3
punts d’intersecció de les circumferències que tenen centres en els tres vèrtex
i són tangents als costats oposats (veure figura).
Siga la circumferència
de centre A, tangent al costat a que té per equació:
.
El punt P és la intersecció de la circumferència C i la
recta .
Aleshores,
Els triangles , són homotètics i el baricentre és el centre d’homotècia.
Siga
Per ser els triangles homotètics
és té la següent proporcionalitat:
.
Aleshores,
.
Amb Cabri:
Figura problema057.fig
Applet created on 6/11/06 by Ricard Peiró i
Estruch with CabriJava