Problema 57

En un triangle equilàter  de costat a dibuixem les circumferències que tenen els seus centres en els vèrtexs i són tangents als costats oposats.

Els 3 punts d’intersecció d’aquestes circumferències interiors al triangle formen un triangle equilàter.

Determineu el costat d’aquest triangle.

Solució:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Considerem el triangle equilàter  de costat a amb les següents coordenades cartesianes:

.

El baricentre del triangle  és: .

Considerem el triangle  determinat pels 3 punts d’intersecció de les circumferències que tenen centres en els tres vèrtex i són tangents als costats oposats (veure figura).

Siga la circumferència de centre A, tangent al costat a que té per equació:

.

El punt P és la intersecció de la circumferència C i la recta .

Aleshores,

Els triangles ,  són homotètics i el baricentre és el centre d’homotècia.

Siga

Per ser els triangles homotètics és té la següent proporcionalitat:

.

Aleshores,

.

 

Amb Cabri:


Figura
problema057.fig

Applet created on 6/11/06 by Ricard Peiró i Estruch with CabriJava

Pàgina anterior: