Problema 65
Sobre els costats del triangle isòsceles
() i fora d’ell es construeixen quadrats. Proveu que els
centres d’aquests quadrats i el punt mig del costat són els vèrtexs d’un
triangle isòsceles rectangle.
Solució:
Considerem
el triangle isòsceles amb les següents
coordenades cartesianes:
.
Siga M el punt mig del segment , aleshores, .
Considerem els quadrats ABDE, ACFG.
Aplicant girs les coordenades dels punts E, G són:
, .
El punt P centre del quadrat ABDE és el punt mig del
segment . Aleshores, les seues coordenades són:
.
El punt Q centre del quadrat ACFG és el punt mig del
segment . Aleshores, les seues coordenades són:
.
Calculem les components dels vectors :
, .
.
.
Aleshores, .
Aleshores, el triangle és isòsceles i
rectangle .
Amb Cabri:
Figura problema065.fig
Applet created on 7/11/06 by Ricard Peiró with CabriJava