Problema 66
Pel centre O d’un triangle equilàter s’han traçat dues
rectes que formen entre elles 60º.
Demostreu que els segments d’aquestes rectes situats en
el triangle són iguals.
Solució 1:
Considerem la recta r, que talla el triangle en els punts
D, F.
Considerem la recta s que talla el triangle en els punts
E, G.
Siga (angle que formen les
rectes r, s).
Considerem l’angle . Aleshores,
Considerem el triangle . Aleshores, .
Els triangles són iguals que tenen
un costat igual i els dos angles
contigus iguals ,
Aleshores .
Anàlogament demostraríem que .
Per tant, .
Solució 2:
El gir de centre O i angle 120º deixa invariant el
triangle equilàter .
Per tant el gir de centre O i 120º transforma el punt D
en E, per tant
El gir de centre O i 120º transforma el punt F en G, per
tant .
Aleshores, .
Amb Cabri:
Figura problema066.fig
Applet created on 7/11/06 by Ricard Peiró with CabriJava