Problema 78
Demostreu que la circumferència circumscrita a un triangle
té el mateix radi que la circumferència que passa per dos dels seus vèrtexs i
per l’ortocentre.
Solució:
Siga H l’ortocentre del triangle .
Siguen altures del triangle.
Considerem el triangle .
Notem que , .
Aleshores, .
Siga R el radi de la circumferència circumscrita al
triangle.
Siga S el radi de la circumferència circumscrita al
triangle .
Aplicant el teorema dels sinus al triangle , (1)
Aplicant el teorema dels sinus al triangle :
(2)
Igualant les expressions (1), (2):
, és a dir, la circumferència circumscrita a un triangle té
el mateix radi que la circumferència que passa per dos dels seus vèrtexs i per
l’ortocentre.
Amb Cabri:
Figura problema078.fig
Applet created on 9/11/06 by Ricard Peiró with CabriJava