Problema 81

Siga el triangle  tal que la circumferència de diàmetre  passa pel punt mig M del costat , i el costat  és tangent a dita circumferència. Siga N el punt diametralment oposat a M respecte de la circumferència. Proveu que la raó entre les àrees dels triangles  i  és 2.

 

Solució:

Per ser   tangent a la circumferència,  és perpendicular al diàmetre , aleshores el triangle  és rectangle .

La mitjana sobre d’un triangle rectangle és la meitat de la hipotenusa, aleshores:

. Aleshores, .

El triangle  és rectangle i isòsceles. El triangle  és rectangle i isòsceles.

Aleshores els triangles  i  són semblants.

La raó entre les àrees és el quadrat de la raó entre els costats semblants.

Calculem la raó entre les àrees dels triangles  i :

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle:

.

.

 

 

 

Amb Cabri:


Figura
problema081.fig

Applet created on 9/11/06 by Ricard Peiró with CabriJava

Pàgina anterior: