Problema 83

Siga el triangle rectangle , . La bisectriu a l’angle A talla el costat en el punt E i a la circumferència circumscrita al triangle en M. Siguen K i L els peus de les perpendiculars traçades des del punt E als costats , respectivament.

Demostreu que l’àrea del triangle és igual a l’àrea del quadrilàter AKML.

Solució:

ADKL és un quadrat.

Siga .

Siga R el peu de la perpendicular des del punt M al costat .

Siga .

Notem que (per ser el triangle rectangle i isòsceles).

Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle :

, aleshores,

Notem que (angle inscrit en la circumferència).

Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle :

, aleshores, .

Notem que els triangles , són iguals.

Calculem l’àrea del quadrilàter AKML:

.

Aleshores, l’àrea del triangle és igual a l’àrea del quadrilàter AKML.

Amb Cabri:

Figura problema083.fig

Applet created on 9/11/06 by Ricard Peiró with CabriJava

Pàgina anterior: