Problema 10: nombre d’or 2.
Siga el triangle equilàter 
.
Siguen L, M els punts migs dels segments AB, AC,
respectivament.
Siga C1 la circumferència circumscrita al triangle .
La
recta que passa pels punts L, M talla la circumferència C1 en els punts X, Y.
Proveu
que 
Solució
1: (Amb coordenades cartesianes).
Considerem
El triangle , tal que B(0,0), C(2,0).
Per
ser el triangle equilàter 
Les
coordenades dels punts L, M són: 
Siga C1 la circumferència circumscrita al triangle de centre O i radi R
El
centre O té coordenades 
El radi
de la circumferència circumscrita C1 és:
L’equació
de la circumferència C1 és: 
L’equació
de la recta r que passa pels punts L, M és:
Les
interseccions de la circumferència C1 i la recta r són:
, 
. 
. 
.
Aleshores: 
. 
Demostració
2 trigonomètrica:
Considerem
el triangle de costat 
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle 
. 
Aleshores
.
Considerem
el triangle 
Per
la propietat del baricentre del triangle :
. 
.
L’angle
.
Considerem
el triangle 
Aplicant
el teorema del cosinus al triangle .
.
. Simplificant:
. Aleshores,
Amb Cabri:
Figura prob10.fig
Applet created on 9/12/07 by Ricard Peiró with CabriJava