Problema 12: Oposicions de
secundària 2.
En
un triangle rectangle 
, 
, siga 
l’altura, siga 
la bisectriu i E la
intersecció de , . Proveu que:
a)
El triangle 
és isòsceles.
b)
.
Oposicions
València 2005
Solució:
a)
, 
.
(angles oposats pel
vèrtex).
. 
.
Aleshores,
, per tant, és isòsceles, 
.
b)
Aplicant
raons trigonomètriques al triangle rectangle 
:
.
Aplicant
la propietat de la bisectriu al triangle :
, aleshores, 
.
Aplicant
el teorema del cosinus al triangle :
.
. 
.
.
Vegem
que 
. Siga la funció, 
tal que 
, 
.
Vegem
que la funció 
és creixent en aquest
interval.
, 
quan 
.
El
màxim s’assoleix quan 
.
.
Aleshores,
. Per tant, .
Amb
Cabri:
Figura prob12.fig
Applet created on 9/12/07 by Ricard Peiró User with CabriJava