20 Problemes Olímpics

Introducció

Enunciats

Solucions

Teoria

Guies

Adreces

Problema 1

Un triangle equilàter està dibuixat al defora del costat superior del quadrat ABCD

de costat c com mostra la figura.

Si una circumferència passa pels punts A, B i E. Quin és el radi del cercle.

Solució:

Problema 2

Siga ABCDEFG un heptàgon regular. Proveu que .

Solució:

Problema 3

En la figura el pentàgon regular, el quadrat i el triangle equilàter

tenen la mateixa mesura del costat.

Calculeu l’angle .

Solució:

Problema 4

El la següent figura ABCD, AEHI, BEFG són quadrats iguals.

Calculeu la mesura de l’angle .

Solució:

Problema 5

En la figura els arcs , tenen centre B, A, respectivament.

Si calculeu el radi de la circumferència tangent als arcs i al segment .

Solució:

Problema 6

Donat un quadrat, es dibuixen les 4 circumferències de centre els vèrtexs i que passen pel centre del quadrat.

Les 4 circumferències tallen en 8 punts els costats del quadrat.

Demostreu que els punts formen un octògon regular.

Solució:

Problema 7

Siguen M i N els punts migs dels costats i , respectivament, del

quadrat ABCD.

Siga K un punt de la prolongació de la diagonal (A resta entre C i K).

El segment talla el costat en el punt L.

Demostreu que els angles , són iguals.

Solució:

Problema 8

Siga el quadrat ABCD de centre O.

Sobre els costats i i exterior al quadrat es dibuixen els triangles

equilàters i . Compareu les àrees dels triangles , .

Solució:

Problema 9

Siga el quadrat ABCD de costat 1. S’uneixen els vèrtexs amb els punts migs

dels costats del quadrat formant el quadrat PQRST.

Determineu l’àrea del quadrat PQRS.

Solució:

Problema 10

ABCD és un quadrat de costat 1. Una semicircumferència de diàmetre

està continguda en el quadrat.

Siga E un punt del costat tal que el segment és tangent a la semicircumferència. Calculeu l’àrea del triangle .

Solució:

Problema 11

En la següent figura el triangle és equilàter i els triangles , ,

són rectangles i isòsceles.

Proveu que .

Solució:

Problema 12

En un triangle , L és el punt mig del costat i M és el punt mig del costat . Si P es un punt de la semirecta ML tal que . Proveu que .

Solució:

Problema 13

Dins d’un hexàgon regular s’ha dibuixat un rombe els vèrtexs del qual són dos vèrtexs

oposats de l’hexàgon i dos punts mig de dos costats oposats.

Calculeu la proporció entre les àrees del rombe i de l’hexàgon.

Solució:

Problema 14

Siga el triangle rectangle , .

Siguen els punts D, E de la hipotenusa tal que , .

Siga F la projecció de E sobre el catet .

Siga G la projecció de D sobre el catet .

Proveu que .

Solució:

Problema 15

Siga el paral·lelogram ABCD.

Siga E un punt sobre el costat .

Dibuixem el paral·lelogram AEFG tal que B pertany a .

Proveu que el dos paral·lelograms tenen la mateixa àrea.

Solució:

Problema 16

La següent figura està formada per 1 triangle equilàter i 3 quadrats iguals.

El costat del triangle equilàter és a. Calculeu el costat del quadrat.

Solució:

Problema 17

El costat del quadrat ABCD és c.

F és el punt mig del costat .

Siga E la projecció de A sobre el segment .

Calculeu la mesura del segment .

Solució:

Problema 18

En l’hexàgon ABCDEF tots els angles són iguals.

Proveu que .

Solució:

Problema 19

La recta que va des d’un vèrtex d’un paral·lelogram al punt mig d’un dels costats oposats,

divideix la diagonal en relació .

Solució:

Problema 20

Si en un triangle rectangle construïm un quadrat sobre la hipotenusa.

La bisectriu de l’angle recte divideix el quadrat en dos quadrilàters d’igual àrea.

Solució:

Tots els enunciats en pdf

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Pàgina inicial