|
|||||||||||||||||||||||||
Teoria: Triangles rectangles |
|||||||||||||||||||||||||
Teorema
de Tales Si dues rectes secants r, s són tallades per dues o més
paral·leles a, b, c... els segments que determinen sobre una de les secants són proporcionals als
segments que determinen en l’altra secant. a)
També s’acompleix: b) c)
Applet
created on 6/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava Triangles
semblants. Dos triangle són semblants (ho
representarem per ) si tenen els
costats corresponents iguals i els costats
corresponents proporcionals. És a dir, i
Applet
created on 6/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava Criteris
de semblança de triangles. Siguen els triangles . Criteri 1. Si , aleshores, És a dir, dos triangles són semblants si tenen un angle igual i els
costats corresponents que formen l’angle proporcionals. Criteri 2. Si , aleshores, És a dir, dos triangles són semblants si tenen dos angles
corresponents iguals. Criteri 3. Si , aleshores, Dos triangles són semblants si tenen els tres costats
corresponents proporcionals. Teorema de Pitàgores Siga el triangle rectangle , d’hipotenusa a i
catets b, c Aleshores,
Applet created on 8/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava
Pàgina dels Elements d’Euclides
Applet
created on 13/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava
Demostració japonesa del teorema de Pitàgores.
Applet
created on 13/04/11 byRicard Peiró with CabriJava Generalització
del teorema de Pitàgores: L’àrea de la figura construïda sobre la hipotenusa és la mateixa
que la suma de les àrees de les figures semblants construïdes sobre els catets. Exemple amb hexàgons regulars construïts sobre els costats del
triangle rectangle.
Applet
created on 8/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava Teorema
invers del teorema de Pitàgores: Siga un triangle tal que . Aleshores el triangle és rectangle i
l’angle .
Applet
created on 8/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava Teorema
de l’altura i del catet en un triangle rectangle. Siga el triangle rectangle , Siga l’altura sobre la hipotenusa. Siga la projecció del
catet c sobre la hipotenusa. Siga la projecció del
catet b sobre la hipotenusa. Aleshores, a) Teorema de l’altura. b) Teorema del catet. c) Teorema del catet.
Applet
created on 7/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava Propietats
de triangles rectangles: a) Un triangle és rectangle si i només si la mitjana sobre el
costat major mesura la meitat d’aquest costat.
Applet
created on 7/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava b) Un triangle és rectangle si i només si . Raons trigonomètriques d’un angle agut. Considerarem el triangle rectangle on Recordem que en qualsevol triangle rectangle es complia el
teorema de Pitàgores: Siga Definim sinus de l’angle i ho representem
per sin Definim cosinus de l’angle i ho representem per
cos Definim tangent de l’angle i ho representem per
tg
Applet
created on 7/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava Nota: Pel teorema de Tales, les raons trigonomètriques de l’angle
no depenen del
triangle rectangle escollit.
Applet
created on 7/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava Relacions fonamentals entre les raons trigonomètriques. Donat un angle es compleixen les següents
relacions:
Applet
created on 7/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava Raons
trigonomètriques d’un angle qualsevol. Considerem la circumferència de centre que té radi 1 (circumferència goniomètrica). Siga . Siga el punt Q(x,y) de la circumferència Considerem l’angle . Definim:
Applet
created on 6/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava Les raons trigonomètriques compleixen les fórmules fonamentals: Reducció
al primer quadrant:
Applet
created on 6/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava Relacions angles segon i primer quadrant (suplementaris) , , Relacions angles tercer i primer quadrant (difereixen en 180º) , , Relacions angles quart i primer quadrant (oposats) , , Reducció al primer octant. Relacions angles segon i primer octant (complementaris) , . Propietat
de triangles i raons trigonomètriques: En un triangle qualsevol ,
Applet
created on 7/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava |
|||||||||||||||||||||||||