Teoremes sobre triangles

20 Problemes Olímpics

Teoria: Teoremes sobre triangles

Els teoremes més importants per resoldre qualsevol triangle són el teorema del cosinus i

el teorema dels sinus. El Teorema de Ceva és bàsic per veure que 3 segments que parteixen

dels vèrtexs d’un triangle s’intersecten en un punt.

Teorema del cosinus.

Siga el triangle . Es compleixen les següents igualtats:

Figura triangles3b.fig

Applet created on 6/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava

Teorema dels sinus

Siga el triangle .

Els costats del triangle són proporcionals als sinus dels angles oposats, i la constant de

Proporcionalitat és igual al diàmetre de la circumferència circumscrita al triangle.

on R és el radi de la circumferència circumscrita.

Figura triangles3a.fig

Applet created on 6/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava

Teorema de la tangent (Viète)

Siga el triangle . Aleshores, .

Figura triangles3c.fig

Applet created on 6/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava

Teorema de Menelau

Siga el triangle , siguen els punts .

Siga la recta g que passa pels punts B, C. Siga el punt .

D, E, F estan alineats Û

Figures triangles3d1.fig, triangles3d2.fig

Applet created on 6/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava

Teorema de Ceva

Siga el triangle , siguen els punts .

Aleshores, els segments es tallen en un punt T Û

Figures triangles3e1.fig, triangles3e2.fig

Applet created on 6/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava

Teorema d’Euler: Distància entre l’incentre i el circumcentre

Siga el triangle i siguen R el radi de la circumferència circumscrita(de centre O) i

r el radi de la circumferència inscrita(de centre I).

Aleshores:

Figura triangles3f.fig

Applet created on 6/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava